前n项平方和怎么求

若为前项平方和：

它的通项公式我们在中学阶段已经学习过，即

但是它的推导过程却不算简单。本文主要从组合数学的角度罗列一些此级数通项公式的推导方法。要理解本文的内容，读者应当学习过一些组合数学或离散数学的知识。

方法一：求解递推关系

考虑

上式为常系数非线性递推关系。若我们尝试直接求解，则需要先求通解，再求特解，然后将他们线性组合。显然，通解为 ，但是特解却并不好求。所以我们换个思路，尝试消去递推关系的非齐次项。

上述两式相减，并利用 替换，可得

WOW，我们成功让等式右边的降幂了！这暗示着我们可以使用这个方法，将右边的幂函数一直降至常数。当然，随之而来的就是左边的递推关系会越变越复杂。

化简之后，我们得到了一个相当复杂的递推关系，但庆幸的是它是齐次的，我们无需再考虑通解。

我们列出上式的特征方程：

先别急着解它，我断言，它一定只有这一个实数根。否则，就将会以指数级的速度增长了，这与我们的直觉不符。当然，不难发现，

所以的的确确是它的四重根。那么该递推关系的解应该是：

注意到，根据的定义：

将前四项代入，得到一个线性方程组：

容易解得：

也就是

回顾我们的求解过程，我们实际上是在一个滚动相消的过程中消去了等式右边的，从而将原来的递推关系化为了一个线性常系数递推关系。

上述过程也给了我们一个启发，我们实际上可以使用此方法求解任意幂函数的前项和，虽然可能最终得到的递推关系很复杂，但都会转化为解一个线性方程组的问题。

方法二：扰动法

扰动法是求解和式的一种技巧。它的思想是给和式加上一项，同时将和式中的某一项分离出去，然后将剩下部分尝试使用和式表示出来。

假设我们有一未知和式：

根据扰动法的思想，给它的左右两边加上一项，同时右边分离一项。

比如，使用扰动法求解一个几何级数的和：

方程两边同时加上：

注意上面的最后一步，我们尝试将右边的和式用表示出来，即可得到

回到我们的问题中来。

尝试使用扰动法：

不幸的是，我们得到的等式中左右两边相互抵消了。仔细观察一下就不难发现，此前用扰动法求几何级数的过程中，的系数会随着和式的变化发生改变，然而对于的和却不是这样。

虽然没能得出结果，但是这个求解过程也并非完全无用，注意到，我们在求解的过程中出现了比低阶的的和式。这给我们一个启发，如果我们使用扰动法求的和式，是否会在过程中出现的和式呢？

设

再次尝试使用扰动法：

奇迹再次发生了！只需稍微移项整理，我们就得到了想要的。

这是一个激动人心的结果。

方法三：离散微积分

离散微积分（又称有限微积分），是一种基于差分方程的对应与连续函数中微积分的方法。这里我们仅介绍使用它解决该问题，详细的关于离散微积分的介绍可以参考具体数学。

设 ，其中读作“直降次”。

对应于微分算子，我们引入差分算子。差分算子作用于上时，类似于连续微积分，有

差分算子的逆算子为求和算子，类似于积分算子，有

其中表示的差分。根据的定义，我们有：

即：

于是解得：

注意，此处求出的是前 项和，我们用 替换结果中的，即得：

求解过程异常简洁！另外，离散微积分告诉我们这样一个事实：{% label primary@从渐进分析的角度来说，所有幂方级数的和都要比它的末项高一阶。 %}

方法四：生成函数

生成函数实际上是解递推关系的基础，过程比直接求解地推关系要稍麻烦些，但原理是一样的，在此不做赘述。