ℂatalan数，即卡特兰数（英语：Catalan number），又称明安图数，是组合数学中一种常出现于各种级数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰的名字来命名。 它是指满足以下递推关系的数列： […] Catalan数的递推关系很简单，乍看之下没什么特别的，但是Catalan数却是许多计数问题的最终形式。Stanley的Enumerative … Read More →

若$S_n$为前$n$项平方和： […] 它的通项公式我们在中学阶段已经学习过，即 […] 但是它的推导过程却不算简单。本文主要从组合数学的角度罗列一些此级数通项公式的推导方法。要理解本文的内容，读者应当学习过一些组合数学或离散数学的知识。 […] 考虑 […] 上式为常系数非线性递推关系。若我们尝试直接求解，则需要先求通解，再求特解，然后将 … Read More →

雅可比行列式在多元函数微积分中的应用非常广泛，我们在很多地方都能见到它的身影。合理运用雅可比行列式，可以简化我们的计算。 本文主要总结了一些雅可比行列式在多元函数微积分的计算方面的应用。 […] 雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian)，它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式 。事实上，在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可 … Read More →

深入浅出算法复杂度一文中，我们提到还存在一种复杂度分析策略，称为摊还分析（Amortized Analysis）。 在摊还分析中，我们主要关心某数据结构的一个操作序列中执行所有操作的平均时间，以此评价单次操作所花费的代价。摊还分析中最常用的三个技术分别是聚合分析、记账分析和势能分析。接下来我们主要讨论这三种摊还分析技术的原理以及例子。 […] 所谓聚合分析，就是尝试求出一个包含$n$ … Read More →

算法是计算机科学中最重要的部分，它们可以通过使用与语言和机器无关的方式进行研究。这意味着我们需要一种技术，使我们能够在不实现算法的情况下比较算法的效率。在算法分析中，两个最重要的工具是 […] 本文将讨论算法的效率分析，以及常用的分析工具和方法。 […] 为了理解本文所写的内容，你需要掌握一些基本的高等数学知识。 […] 一个算法主要有两种效率：时间效率和 … Read More →

我们知道，对于一个二阶线性非齐次微分方程，它的通解是它对应的二阶线性齐次微分方程的通解加上它自己的一个特解。而它所对应的二阶线性齐次微分方程的通解通常有两种情况：若该方程为常系数，我们根据特征方程容易求得通解。但若该方程为变系数，情况就稍麻烦些。大多数的变系数线性高阶微分方程不能利用初等函数求解（如$y''+xy=0$，它的解是无穷级数形式的），只有对于一些特殊形式的二阶变系数线性齐次微分方程，我 … Read More →

𝔾reetings from Seneca to his friend Lucilius. Continue to act thus, my dear Lucilius – set yourself free for your own sake; gather and save your time, which till lately has been forced from you, or … Read More →